Question

14．已知函數f（x）滿足f（0）=-1，其導函數f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結論中正確的是（1），（2），（4）．
（1）f（$\frac{1}{k}$）＞$\frac{1}{k}$-1；（2）f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$；（3）f（$\frac{1}{k-1}$）＜$\frac{2-k}{k-1}$；（4）f（$\frac{1}{k}$）＜f（$\frac{1}{k-1}$）

Answer 1

分析 根據導數的概念得出$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，（1），（2）分別取x=$\frac{1}{k}$，x=$\frac{1}{k-1}$判斷即可，（4）根據函數的單調性判斷即可．

解答 解：∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，
且f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，
對于（1），令x=$\frac{1}{k}$，即有f（$\frac{1}{k}$）+1＞$\frac{1}{k}$•k=1，即為f（$\frac{1}{k}$）＞0，故（1）正確；
對于（2），當x=$\frac{1}{k-1}$時，f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$•k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$，故f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，故（2）正確；
對于（3），由（2）可得f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$＞$\frac{1}{k-1}$-1=$\frac{2-k}{k-1}$，故（3）不正確，
對于（4），函數遞增，故（4）正確．
故正確個數為3，
故選；（1）（2）（4）

點評 本題考查了導數的概念，不等式的化簡與運算以及變量的代換問題與應用問題，是中檔題目．