Question

6．已知點（2，9）在函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）圖象上，對于函數y=f（x）定義域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下結論：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0；
④f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
上述結論中正確結論的序號是①④．

Answer 1

分析 求出指數函數的解析式，利用指數的基本運算性質判斷①、②，根據函數的單調性判斷③，根據指數的運算法則和基本不等式判斷④．

解答 解：∵點（2，9）在函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）圖象上，
∴a²=9，解得：a=3，
∴f（x）=3^x，
∴①f（x₁+x₂）=${3}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$=${3}^{{x}_{1}}$•${3}^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），故①正確；
②f（x₁•x₂）=${3}^{{x}_{1}{•x}_{2}}$≠f（x₁）+f（x₂），故②錯誤；
③a=3＞1，f（x）在R遞增，故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故③錯誤；
④$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{3}^{{x}_{1}}{+3}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{3}^{{x}_{1}}{•3}^{{x}_{2}}}}{2}$=${3}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
故④正確；
故答案為：①④．

點評 本題主要考查了指數的基本運算性質，指數函數單調性的應用，基本不等式的應用，屬于知識的簡單綜合應用．