Question

14．函數f（x）=（m²-m-1）x^m是冪函數，且對區間（0，+∞）上任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）成立，則實數m的值是2．

Answer 1

分析 求出函數f（x）的單調性，再根據f（x）是冪函數求出m的值即可．

解答 解：∵對區間（0，+∞）上任意兩個不相等的實數x₁，x₂，
不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數f（x）是定義域上的增函數，
由函數f（x）=（m²-m-1）x^m是冪函數，
得：m²-m-1=1，解得：m=2或m=-1，
又函數f（x）是定義域上的增函數，
故m=2，故答案為：2．

點評 本題考查了冪函數的定義，考查函數的單調性，是一道基礎題．