Question

20．函數f（x）是（0，+∞）上的單調增函數，當n∈N⁺時，f（n）∈N⁺，且f[f（n）]=3n，則f（1）的值為2．

Answer 1

分析 結合題設條件，利用列舉法一一驗證，能夠求出f（1）的值．

解答 解：函數f（x）是（0，+∞）上的單調增函數，當n∈N⁺時，f（n）∈N⁺，且f[f（n）]=3n，
若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=1，與條件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；
若f（1）=3，則f（f（1））=f（3）=3，進而f（f（3））=f（3）=9，與前式矛盾，故不成立；
若f（1）=n（n＞3），則f（f（1））=f（n）=3，與f（x）單調遞增矛盾．
所以只剩f（1）=2．驗證之：
f（f（1））=f（2）=3，
進而f（f（2））=f（3）=6，
進而f（f（3））=f（6）=9，滿足條件，
故答案為：2．

點評 本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意列舉法的合理運用，屬于中檔題．