Question

10．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²+n（n∈n^*），則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=2．

Answer 1

分析 由題意可知：n=1，a₁=S₁=1+1=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²+（n-1）=2n，則a_n=2n（n∈n^*），$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}}{n（n+1）}$=2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=2．

解答 解：由S_n=n²+n（n∈n^*），
當n=1，a₁=S₁=1+1=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²+（n-1）=2n，
當n=1時，a₁=2×1=2，成立，
∵a_n=2n（n∈n^*），
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}}{n（n+1）}$=2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=2，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查求數列通項公式的方法，考查數列與極限的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．