Question

已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；

（3）記的面積為，求的最大值．

 

Answer 1

（1）圓心的軌跡：；

（2）和的比值為一個常數，這個常數為；

（3）當時，取最大值．

【解析】

試題分析：（1）設圓心的坐標為，半徑為 

利用已知條件，判斷得到動圓與圓只能內切，

從而由，

判斷得出圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，且，

求得圓心的軌跡：；

（2）設，研究直線，直線與橢圓聯立的方程組，應用韋達定理，弦長公式，確定作出結論；

（3）注意到的面積的面積，

利用到直線的距離，將面積表示為 ，應用“換元”思想，

令，得到應用基本不等式得解．

試題解析：（1）設圓心的坐標為，半徑為 

由于動圓與圓相切，且與圓相內切，所以動

圓與圓只能內切                               2分圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

故圓心的軌跡：                                             4分

（2）設，直線，則直線

由可得：，

                       6分

由可得：

                        8分

和的比值為一個常數，這個常數為                            9分

（3），的面積的面積到直線的距離

                     11分

令，則

（當且僅當，即，亦即時取等號）當時，取最大值                                        14分

考點：圓與圓的位置關系，橢圓的定義、幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，基本不等式的應用．