Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知$B=\frac{π}{4}$，cosA-cos2A=0．
（1）求角C；
（2）若b²+c²=a-bc+2，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根據二倍角公式即可求出A，再根據三角形的內角和定理即可求出C，
（2）根據余弦定理和b²+c²=a-bc+2，求出a，再根據兩角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面積公式即可求出

解答 解：（1）因為cosA-cos2A=0，
所以2cos²A-cosA-1=0，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$，cosA=1（舍去）．
所以$A=\frac{2}{3}π$，
又$B=\frac{π}{4}$，
所以$C=\frac{π}{12}$．
（2）在△ABC中，因為$A=\frac{2}{3}π$，由余弦定理
所以a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，
又b²+c²=a-bc+2，
所以a²=a+2，
所以a=2，
又因為$sinC=sin\frac{π}{12}=sin（{\frac{π}{3}-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$，
由正弦定理$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$
得$c=\frac{{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{3}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac•sinB=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理三角形的面積公式以及二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題