Question

1．2017年省內事業單位面向社會公開招聘工作人員，為保證公平競爭，報名者需要參加筆試和面試兩部分，且要求筆試成績必須大于或等于90分的才有資格參加面試，90分以下（不含90分）則被淘汰．現有2000名競聘者參加筆試，參加筆試的成績按區間[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分段，其頻率分布直方圖如下圖所示（頻率分布直方圖有污損），但是知道參加面試的人數為500，且筆試成績在的人數為1440．
（1）根據頻率分布直方圖，估算競聘者參加筆試的平均成績；
（2）若在面試過程中每人最多有5次選題答題的機會，累計答題或答錯3題即終止答題．答對3題者方可參加復賽．已知面試者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響．若他連續三次答題中答對一次的概率為$\frac{9}{64}$，求面試者甲答題個數X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）求出競聘者成績在區間[30，50），[90，110），[110，130）的人數，由此能求出競聘者參加筆試的平均成績．
（2）設面試者甲每道題答對的概率為p，則${C}_{3}^{1}p（1-p）^{2}$=$\frac{9}{64}$，解得p=$\frac{3}{4}$，面試者甲答題個數X的可能取值為3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的人布列和E（X）．

解答 解：（1）設競聘者成績在區間[30，50），[90，110），[110，130）的人數分別為x，y，z，
則（0.0170+0.0140）×20×2000+x=2000-500，解得x=260，
（0.0170+0.0140）×20×2000+y=1440，解得y=200，
0.0032×20×2000+200+z=500，解得z=172，
競聘者參加筆試的平均成績為：
$\frac{1}{2000}$×（260×40+200×100+172×120）+（0.014×60+0.017×80+0.0032×140）×20=78.48（分）．
（2）設面試者甲每道題答對的概率為p，則${C}_{3}^{1}p（1-p）^{2}$=$\frac{9}{64}$，解得p=$\frac{3}{4}$，
面試者甲答題個數X的可能取值為3，4，5，
則P（X=3）=（$\frac{3}{4}$）³+（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{7}{16}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}+{C}_{3}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）=\frac{45}{128}$，
P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-$\frac{7}{16}$-$\frac{45}{128}$=$\frac{27}{128}$，
∴X的人布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{27}{128}$

E（X）=$\frac{7}{16}×3+\frac{45}{128}×4+\frac{27}{128}×5$=$\frac{483}{128}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是中檔題．