Question

11．已知$tan2θ=-2\sqrt{2}$，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+θ）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由$tan2θ=-2\sqrt{2}$，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．利用二倍角公式即可出tanθ的值；
（2）根據tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和與差的公式化簡可求出$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+θ）}}$的值．

解答 解：（1）由tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}=-2\sqrt{2}$，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．
可得：$\sqrt{2}$tan²θ-tanθ-$\sqrt{2}$=0，
∵$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．
∴tanθ=$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知tanθ=$\sqrt{2}$，即$\frac{sinθ}{cosθ}=\sqrt{2}$，sin²θ+cos²θ=1，
可得：sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
那么$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+θ）}}$=$\frac{cosθ-sinθ}{cosθ+sinθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}}$=2$\sqrt{2}-3$．

點評 本題考查了同角三角函數的關系式的計算和二倍角公式的運用．屬于基礎題．