Question

6．對于函數$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$，給出下列四個命題：
①存在$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，使$f（α）=\sqrt{2}$；
②函數f（x）的圖象關于直線$x=-\frac{3π}{4}$對稱；
③存在φ∈R，使函數f（x+ϕ）的圖象關于坐標原點成中心對稱；
④函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$就能得到y=-2cosx的圖象．
其中正確命題的序號是②③．

Answer 1

分析 函數$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$=2sin（x+$\frac{π}{4}$），依次對各結論考查可得答案．

解答 解：函數$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
對于①：$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，可得α+$\frac{π}{4}$∈（$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$），不存在$f（α）=\sqrt{2}$；∴①不對．
對于②：函數f（x）的對稱軸方程為：x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，可得x=$kπ+\frac{π}{4}$，當k=-1時，可得圖象關于直線$x=-\frac{3π}{4}$對稱．∴②對．
對于③：函數f（x+ϕ）=2sin（x+ϕ+$\frac{π}{4}$），當ϕ+$\frac{π}{4}$=kπ，即ϕ=$kπ-\frac{π}{4}$時，圖象關于坐標原點成中心對稱；
∴存在φ∈R，使函數f（x+ϕ）的圖象關于坐標原點成中心對稱；∴③對．
對于④：函數f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$，可得：2sin（x$+\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2cos2x，不能得到y=-2cosx的圖象．∴④不對．
故答案為：②③．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．