Question

1．已知函數f（x）=2sin（ωx+ϕ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一個零點是$x=\frac{π}{3}$，其圖象上一條對稱軸方程為$x=-\frac{π}{6}$，則當ω取最小值時，下列說法正確的是①③．（填寫所有正確說法的序號）
①當$x∈[-\frac{4π}{3}，-\frac{π}{6}]$時，函數f（x）單調遞增；
②當$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{3}]$時，函數f（x）單調遞減；
③函數f（x）的圖象關于點$（\frac{7π}{12}，-1）$對稱；
④函數f（x）的圖象關于直線$x=\frac{-4π}{3}$對稱．

Answer 1

分析 根據函數f（x）的一個零點是x=$\frac{π}{3}$，得出f（$\frac{π}{3}$）=0，再根據直線x=-$\frac{π}{6}$是函數f（x）圖象的一條對稱軸，得出-$\frac{π}{6}$ω-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；由此求出ω的最小值與對應φ的值，寫出f（x），再根據正弦函數的圖象與性質進行判斷．

解答 解：函數f（x）=2sin（ωx-φ）-1的一個零點是x=$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$ω-φ）-1=0，
∴sin（$\frac{π}{3}$ω-φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$ω-φ=$\frac{π}{6}$+2kπ或$\frac{π}{3}$ω-φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又直線x=-$\frac{π}{6}$是函數f（x）圖象的一條對稱軸，
∴-$\frac{π}{6}$ω-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
又ω＞0，|φ|＜π，
∴ω的最小值是$\frac{2}{3}$，φ=-$\frac{11π}{18}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）-1；
當x∈[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]時，$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$∈[-$\frac{5π}{18}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）在[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]上單調遞增，故①正確；
當x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]時，$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$∈[$\frac{π}{18}$，$\frac{31π}{18}$]，
∴f（x）在[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]上不單調，故②錯誤；
當x=$\frac{7π}{12}$時，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）=sinπ=0，故③正確；
當$x=\frac{-4π}{3}$時，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）=sin（-$\frac{5π}{18}$）≠±1，故④錯誤．y
故答案為：①③．

點評 本題考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，正弦函數的性質，屬于中檔題．