Question

8．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}-1，x＞1}\\{2-{e^x}，x≤1}\end{array}}\right.$，若函數h（x）=f（x）-mx-2有且僅有一個零點，則實數m的取值范圍是（-∞，-e]∪{0}∪{-$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 畫出圖象f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x-1}，x＞1}\\{2-{e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$
轉化為函數f（x）與y=mx-2有且僅有一個公共點，分類討論，①當m=0時，y=2與f（x）有一個交點；
②當y=mx+2與y=$\frac{2}{x-1}$相切，結合導數求解即可，求解相切問題；
③y=mx+2過（1，2-e）（0，2），動態變化得出此時的m的范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}-1，x＞1}\\{2-{e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x-1}，x＞1}\\{2-{e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$
∵函數h（x）=f（x）-mx-2有且僅有一個零點，
∴f（x）與y=mx+2有一個公共點
∵直線y=mx+2過（0，2）點
①當m=0時，y=2與f（x）有一個交點
②當y=mx+2與y=$\frac{2}{x-1}$相切
即y′=$-\frac{2}{（x-1）^{2}}$
切點（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}-1}$），m=-$\frac{2}{（{x}_{0}-1）^{2}}$
$\frac{1}{{x}_{0}-1}$=-$\frac{2{x}_{0}}{（{x}_{0}-1）^{2}}$+2，x₀＞1
x₀=$\frac{1}{2}$（舍去），x₀=3
∴m=$-\frac{2}{（3-1）^{2}}$=$-\frac{1}{2}$
③y=mx+2過（1，2-e），（0，2）
m=-e
當m≤-e時，f（x）與y=mx+2有一個公共點

故答案為：（-∞，-e]∪{0}∪{-$\frac{1}{2}$}

點評 本題考查了函數單調性，極值與零點個數的關系，函數單調性的判斷，屬于難題．