Question

19．已知F是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓${（x-\frac{c}{3}）^2}+{y^2}=\frac{b^2}{9}$相切于點(diǎn)Q，且PQ=2QF，則橢圓C的離心率等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，確定PF₁⊥PF，|PF₁|=b，|PF|=2a-b，即可求得a=$\frac{3}{2}$b，根據(jù)橢圓的離心率即可得到所求．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，連接F₁，設(shè)圓心為C，則
∵${（x-\frac{c}{3}）^2}+{y^2}=\frac{b^2}{9}$，則圓心坐標(biāo)為（$\frac{c}{3}$，0），半徑為r=$\frac{b}{3}$，
∴|F₁F|=3|FC|
∵PQ=2QF，∴PF₁∥QC，|PF₁|=b
∴|PF|=2a-b
∵線段PF與圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$（其中c²=a²-b²）相切于點(diǎn)Q，
∴CQ⊥PF
∴PF₁⊥PF
∴b²+（2a-b）²=4c²
∴b²+（2a-b）²=4（a²-b²）
∴a=$\frac{3}{2}$b，則$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，確定幾何量的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．