Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos²$\frac{A-B}{2}$cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-$\frac{3}{5}$．若a=8，b=$\sqrt{3}$，那么∠B=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 已知等式左邊第一項第一個因式利用二倍角的余弦函數公式化簡，第三項利用誘導公式變形，整理后利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，即可求出cosA的值，再求出sinA，根據正弦定理即可求出sinB，問題得以解決

解答 解：$2{cos^2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB$+cos（A+C）=$-\frac{3}{5}$，
∴cos（A-B）cosB+cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（A-B+B）=-$\frac{3}{5}$，
∴cosA=-$\frac{3}{5}$，
∵0＜A＜π
∴sinA=$\frac{4}{5}$
∵a=8，b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，a=8，b=$\sqrt{3}$
∴sinB=$\frac{b}{a}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{10}$，B為銳角
∴B=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{10}$，
故答案為：arcsin$\frac{\sqrt{3}}{10}$

點評 此題考查了正弦定理，以及三角函數中的恒等變換應用，熟練掌握公式解本題的關鍵．