Question

16．已知f（x）滿足f（x+2）=3f（x），且當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=2^x．
（1）求f（log₂$\sqrt{3}$），f（5）的值；
（2）求當(dāng)x∈（4，6]時的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用f（x+2）=3f（x）和f（x）在（0，2]上的解析式計(jì)算；
（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出f（x）=3f（x-2）=9f（x-4）．

解答 解：（1）∵1＜$\sqrt{3}$＜2，∴0＜log₂$\sqrt{3}$＜1，
∴f（log₂$\sqrt{3}$）=2${\;}^{lo{g}_{2}\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∵f（x+2）=3f（x），
∴f（5）=3f（3），f（3）=3f（1），
∴f（5）=9f（1）=9×2=18．
（2）∵f（x+2）=3f（x），
∴f（x）=3f（x-2），f（x-2）=3f（x-4），
∴f（x）=9f（x-4），
∵x∈（4，6]，∴x-4∈（0，4]，
∴f（x-4）=2^x-4，
∴f（x）=9•2^x-4，x∈（4，6]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)值的計(jì)算，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．