Question

5．如圖，PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD為直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=$\frac{1}{2}$CD=1
（1）求證：BC⊥平面ABP；
（2）直線PE上是否存在點M，使DM∥平面PBC，若存在，求出點M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過BC⊥PO，AB⊥BC，PO∩AB=O，即可證明BC⊥平面ABP；
（2）取PO的中點N，連結EN并延長交PB于F，由平面幾何知識能證明DE∥平面PBC，即可得解．

解答 （本題滿分為14分）
證明：（1）∵PO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PO，
又∵BC⊥AB，AB∩PO=O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，
∴BC⊥平面ABP，…6分
（2）點E即為所求的點，即點M與點E重合．
取PO的中點N，連結EN并延長交PB于F，
∵EA=1，PO=2，
∴NO=1，
又EA與PO都與平面ABCD垂直，
∴EF∥AB，
∴F為PB的中點，
∴NF=21OB=1，
∴EF=2，
又CD=2，EF∥AB∥CD，
∴四邊形DCFE為平行四邊形，
∴DE∥CF，
∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
∴當M與E重合時即可．…14分．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的判斷，考查空間想象能力和推理論證能力，解題時要認真審題，屬于中檔題．