Question

20．已知F₁，F₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左，右焦點，點M在E上，MF₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，則E的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件MF₁⊥MF₂，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，列出關系式，從而可求離心率．

解答 解：由題意，M為雙曲線左支上的點，則MF₁=$\frac{^{2}}{a}$，MF₂=$\sqrt{4{c}^{2}+（\frac{^{2}}{a}）^{2}}$，
∴sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{\frac{^{2}}{a}}{\sqrt{4{c}^{2}+\frac{^{4}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，可得：2b⁴=a²c²，即$\sqrt{2}$b²=ac，又c²=a²+b²，
可得$\sqrt{2}$e²-e-$\sqrt{2}=0$，e＞1，解得e=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線的定義及離心率的求解，關鍵是找出幾何量之間的關系．