Question

15．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sin（α+2β）=$\frac{1}{3}$
（3）若α+β=$\frac{2π}{3}$，求sinβ的值；
（4）若sinβ=$\frac{4}{5}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （3）由已知利用同角三角函數基本關系式可求cos（α+2β）的值，由β=（α+2β）-$\frac{2π}{3}$，利用兩角差的正弦函數公式即可計算得解．
（4）由已知利用同角三角函數基本關系式可求cosβ，進而利用倍角公式可求sin2β，cos2β的值，結合范圍2β∈（$\frac{π}{2}$，π），可求cos（α+2β）的值，由α=α+2β-2β，利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（3）∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（α+2β）=$\frac{1}{3}$，α+β=$\frac{2π}{3}$，
∴cos（α+2β）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinβ=sin[（α+2β）-$\frac{2π}{3}$]=$\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）$-（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$…5分
（4）∵sinβ=$\frac{4}{5}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosβ=$\frac{3}{5}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{24}{25}$，cos2β=2cos²β-1=-$\frac{7}{25}$，…8分
∴2β∈（$\frac{π}{2}$，π），
又∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（α+2β）=$\frac{1}{3}$，
∴cos（α+2β）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos（α+2β-2β）=（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×（-$\frac{7}{25}$）+$\frac{1}{3}×\frac{24}{25}$=$\frac{24+14\sqrt{2}}{75}$…14分

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的正弦函數公式，倍角公式，兩角差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．