Question

1．在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸且長度單位相同，建立極坐標系，設曲線C參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的最大距離，并求出這個點的坐標．

Answer 1

分析 （1）消去參數可得曲線C的普通方程，利用極坐標與直角坐標的互化方法求直線l的直角坐標方程；
（2）在$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$上任取一點P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），即可求曲線C上的點到直線l的最大距離，并求出這個點的坐標．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，直線l的直角坐標方程為x+y-4=0．
（2）在$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$上任取一點P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ）
則點P到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$≤3$\sqrt{2}$，
∴當sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-1時，d_max=3$\sqrt{2}$，此時這個點的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程、直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．