Question

5．在平面直角坐標系xOy中，設點F（2，0），直線l：x=-2，點M為直線l上的一個動點，線段MF與y軸交于點N，E為第一象限內一點，且滿足NE⊥MF，ME⊥直線l．
（1）求動點E的軌跡方程C；
（2）過點F做直線交軌跡C于A，B兩點，延長OA，OB分別交直線x+y+4=0于P，Q兩點，求線段|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件知，點N是線段FM的中點，NE是線段FM的垂直平分線，點QE的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，寫出拋物線標準方程．
（2）求出P，Q的坐標，可得|PQ|，再換元、配方，即可得出結論．

解答 解：（1）依題意知，NE是線段FM的垂直平分線．
∵ME⊥直線l，∴|EM|是點E到直線l的距離．
∵點E在線段FM的垂直平分線，∴|EM|=|EF|．
故動點E的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：y²=8x（x＞0）．
（2）設A（x₁，y₁），則OA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x與y=-4-x聯立，可得P（-$\frac{4{x}_{1}}{{x}_{1}+{y}_{1}}$，-$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+{y}_{1}}$），
同理Q（-$\frac{4{x}_{2}}{{x}_{2}+{y}_{2}}$，-$\frac{4{y}_{2}}{{x}_{2}+{y}_{2}}$）
設AB：x=ty+2與拋物線方程聯立，可得y²-8ty-16=0，
∴y₁+y₂=8t，y₁y₂=-16
∴|PQ|=$\sqrt{2}$•|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}•|\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{4t+3}|$
=16$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（4t+3）^{2}}}$，
令u=4t+3，可得|PQ|=4$\sqrt{2}•\sqrt{25（\frac{1}{u}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{25}}$，
∴u=$\frac{5}{3}$，t=-$\frac{1}{3}$時，|PQ|_min=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
x₁=2，A（2，4），B（2，-4），P（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{8}{3}$），Q（2，-6），
∴|PQ|=$\sqrt{（2+\frac{4}{3}）^{2}+（-6+\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$$＞\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
∴線段|PQ|的最小值為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法、拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，直線過定點問題，屬于難題．