Question

4．實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤a}\\{y≥1}\end{array}\right.$，若不等式組所表示的平面區域面積為4，則a的值為6，x+2y的最大值為5．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，求最大值．結合不等式組的圖形，根據面積即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
若不等式組構成平面區域，則必有點A在直線x+y=a的下方，
即滿足不等式x+y＜a，
即a＞1+1=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得C（a-1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}$（a-1-1）×（$\frac{a}{2}$-1）=$\frac{1}{4}$（a-2）²=4，
即（a-2）²=16，
即a-2=4或a-2=-4，
解得a=6或a=-2（舍），
當a=4時，作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）．
由z=x+2y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，
平移直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，
由圖象可知當直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z經過點C時，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，解得C（3，1），
代入目標函數z=x+2y得z=5．
即目標函數z=x+2y的最大值為5．
故答案為6，5

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．