Question

20．如圖甲，在平行四邊形ABCD中，AB=$\sqrt{15}$，AD=$\sqrt{7}$，對角線BD=4，現沿對角線BD把△ABD折起，使點A的位置變成點P，且平面PBD⊥平面BCD如圖乙所示，若圖乙中三棱錐P-BCD的四個頂點在同一個球的球面上，則該球的表面積為19π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出cos∠BCD，得到sin∠BCD，再由正弦定理求出△BCD的外接圓半徑，得到△BCD的外接圓圓心到BD的距離d，也就是△PBD的外接圓的圓心到BD的距離，利用勾股定理求得三棱錐P-BCD的外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案．

解答 解：在△BCD中，由CD=$\sqrt{15}$，BC=$\sqrt{7}$，BD=4，可得cos∠BCD=$\frac{15+7-16}{2\sqrt{105}}=\frac{3}{\sqrt{105}}$，
∴sin∠BCD=$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$，
由正弦定理可得△BCD的外接圓半徑r=$\frac{\sqrt{70}}{4}$，
則△BCD的外接圓圓心到BD的距離d=$\sqrt{（\frac{\sqrt{70}}{4}）^{2}-4}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
同理△PBD的外接圓的圓心到BD的距離也為$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴三棱錐P-BCD的外接球的半徑為R=$\sqrt{（\frac{\sqrt{70}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$．
∴該球的表面積為$4π（\frac{\sqrt{19}}{2}）^{2}=19π$．
故答案為：19π．

點評 本題考查球的表面積與體積，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．