Question

15．若函數(shù)y=f（x）對定義域的每一個值x₁，在其定義域均存在唯一的x₂，滿足f（x₁）f（x₂）=1，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．
（1）判斷$y=\frac{1}{x^2}$，y=2^x是否為“依賴函數(shù)”；
（2）若函數(shù)y=a+sinx（a＞1），$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$為依賴函數(shù)，求a的值，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義進行判斷即可，
（2）函數(shù)y=a+sinx（a＞1）為增函數(shù)，且函數(shù)關于（0，a）對稱，若函數(shù)y=a+sinx（a＞1），$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$為依賴函數(shù)，則只需要函數(shù)的最大值和最小值滿足f（x₁）f（x₂）=1即可，建立方程關系進行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$，由f（x₁）f（x₂）=1，得$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$$•\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=1，即x₁²x₂²=1，
對應的x₁、x₂不唯一，所以$y=\frac{1}{x^2}$，x^-2不是“依賴函數(shù)”；
對于函數(shù)y=2^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得2${2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}$=1，得x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定義域內的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂滿足條件，故函數(shù)y=2^x是“依賴函數(shù)”．     
（2）當$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$時，函數(shù)y=a+sinx（a＞1）為增函數(shù)，且函數(shù)關于（0，a）對稱，
若函數(shù)y=a+sinx（a＞1），$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$為依賴函數(shù)，
則只需要函數(shù)的最大值和最小值滿足f（x₁）f（x₂）=1即可，
則函數(shù)的最大值為a+1，最小值為a-1，
則由（a+1）（a-1）=1得a²-1=1，
得a²=2，得a=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)的新定義，建立方程關系是解決本題的關鍵．考查學生的轉化能力．