Question

12．直線l：y=x+m與橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1．
（Ⅰ）當m=1時，求直線l截橢圓所得弦AB的長；
（Ⅱ）若l與C交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求出實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l：y=x+1，代入橢圓方程，利用韋達定理與弦長公式，即可求得丨AB丨；
（Ⅱ）將直線l：y=x+m，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$m，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入即可求得實數m的值．

解答 解：（Ⅰ）題意可知：當m=1時，直線l：y=x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得7x²+8x-8=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$，
由弦長公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）^{2}}$=$\frac{24}{7}$，
（Ⅱ）將直線l：y=x+m，代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，
消去y可得：7x²+8mx+4m²-12=0，
設A（Ax₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$m，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$，
則y₁y₂=（x_x1+m）（x₂+m）=$\frac{3{m}^{2}-12}{7}$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$+$\frac{3{m}^{2}-12}{7}$=0
求解可得：$m=±\frac{{2\sqrt{42}}}{7}$，
∴實數m的值±$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式、平面向量的坐標表示與數量積，考查了方程思想與計算能力，屬于中檔題．