Question

3．已知函數g（x）=$\frac{x+1}{x+2}$，f（x）=x+$\frac{1}{g（x）}$．
（1）寫出函數f（x）的定義域
（2）求證．函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）根據函數的解析式，求出f（x）的定義域即可；
（2）利用單調性的定義即可證明函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

解答 解：（1）∵函數g（x）=$\frac{x+1}{x+2}$，
f（x）=x+$\frac{1}{g（x）}$=x+$\frac{x+2}{x+1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2≠0}\\{\frac{x+1}{x+2}≠0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≠-2}\\{x≠-1}\end{array}\right.$，
∴函數f（x）的定義域為
（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，+∞）；…（4分）
（2）f（x）=x+$\frac{x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+1+$\frac{1}{{x}_{1}+1}$）-（x₂+1+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{{x}_{1}x}_{2}{+x}_{1}{+x}_{2}}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$；
∵x₁，x₂∈（0，+∞），
∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+2）}}＞0$，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．（8分）

點評 本題考查了根據函數的解析式求定義域以及利用定義證明函數的單調性問題，是基礎題目．