Question

15．若函數f（x）同時滿足：
①對于定義域上的任意x恒有f（x）+f（-x）=0，
②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，則稱函數f（x）為“理想函數”．
給出下列四個函數中：（1）f（x）=x，（2）f（x）=$\frac{1}{x}$，（3）f（x）=x²，（4）f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}，x≤0}\\{{x^2}，x＞0}\end{array}}$．
能被稱為“理想函數”的有（1）（4）．（填寫相應序號）

Answer 1

分析 由“理想函數”的定義可知：若f（x）是“理想函數”，則f（x）為定義域上的單調遞增的奇函數，將四個函數一一判斷即可．

解答 解：若f（x）是“理想函數”，則滿足以下兩條：
①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數；
②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴x₁＜x₂時，f（x₁）＜f（x₂），即函數f（x）是單調遞增函數．
故f（x）為定義域上的單調遞增的奇函數．
（1）f（x）=x在定義域R上既是奇函數，又是增函數，所以是“理想函數”；
（2）f（x）=$\frac{1}{x}$在定義域上不是增函數，所以不是“理想函數”；
（3）f（x）=x²在定義域R上不是奇函數，所以不是“理想函數”；
（4）由圖象可知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$在定義域R上既是奇函數，又是增函數，所以是“理想函數”．

故答案為：（1）（4）

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查函數的奇偶性和單調性，注意運用定義法是解題的關鍵，屬于中檔題．