Question

5．已知偶函數f（x）的定義域為R，且f（1+x）=f（1-x），又當x∈[0，1]時，f（x）=x，函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x（x＞0）}\\{{4}^{x}（x≤0）}\end{array}\right.$，則函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-4，4]上的零點個數為（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 9
• D． 7

Answer 1

分析 由題意可得f（-x）=f（x）=f（2-x），即有f（x）的圖象關于x=1對稱，同時關于y軸對稱，分別畫出y=f（x），y=g（x）的圖象，觀察圖象交點即可得到所求零點個數．

解答 解：偶函數f（x）的定義域為R，且f（1+x）=f（1-x），
可得f（-x）=f（x）=f（2-x），
即有f（x）的圖象關于x=1對稱，
同時關于y軸對稱，
由當x∈[0，1]時，f（x）=x，
可得f（x）在[-4，4]的圖象，
可令函數h（x）=f（x）-g（x）=0，
可得f（x）=g（x），
畫出y=g（x）的圖象，
觀察可得它們共有7個交點．
即函數h（x）在[-4，4]內有7個零點．
故選：D．

點評 本題考查函數方程的轉化思想的運用，考查函數的奇偶性和周期性的運用，同時注意數形結合的思想方法，考查畫圖和識圖能力，屬于中檔題．