Question

14．已知過點A（1，1），且斜率為-m（m＞0）的直線l與x，y軸分別交于P，Q，過P，Q作直線2x+y=0的垂線，垂足為R，S，
（1）用含m的表達式寫出PR，QS，SR的長
（2）求四邊形PRSQ的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設l的方程，求出P、Q的坐標，得到PR和QS的方程，利用平行線間的距離公式求出|RS|；
（2）由四邊形PRSQ為梯形，代入梯形的面積公式，再使用基本不等式可求四邊形PRSQ的面積的最小值．

解答 解：（1）過A（1，1），斜率是-m的直線方程是：
y-1=-m（x-1），
則P（1+$\frac{1}{m}$，0），Q（0，1+m）．
從而可得直線PR和QS的方程分別為
x-2y-$\frac{m+1}{m}$=0和x-2y+2（m+1）=0．
又PR∥QS，
∴|RS|=$\frac{|2m+2+1+\frac{1}{m}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|3+2m+\frac{1}{m}|}{\sqrt{5}}$，
又|PR|=$\frac{2+\frac{2}{m}}{\sqrt{5}}$，
|QS|=$\frac{m+1}{\sqrt{5}}$，
（2）由（1）得：四邊形PRSQ為梯形，
S_{四邊形PRSQ} =$\frac{1}{2}$[$\frac{2+\frac{2}{m}}{\sqrt{5}}$+$\frac{m+1}{\sqrt{5}}$]•$\frac{3+2m+\frac{1}{m}}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$（m+$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{4}$）²-$\frac{1}{80}$
≥$\frac{1}{5}$（2+$\frac{9}{4}$）²-$\frac{1}{80}$=3.6．
∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6．

點評 本題考查直線方程的應用，2條平行線間的距離公式的應用，使用基本不等式求式子的最小值．