Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點P滿足：PF₁≥2PF₂則點P 的縱坐標的取值范圍為[$\frac{4}{3}，2$]．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓的離心率，由已知結(jié)合橢圓定義得到PF₂ 的范圍，再由橢圓第二定義轉(zhuǎn)化為P的縱坐標求解．

解答 解：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得a²=4，b²=3
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，
則e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
由PF₁+PF₂=2a=4，PF₁≥2PF₂ ，得4=PF₁+PF₂≥3PF₂，
∴$P{F}_{2}≤\frac{4}{3}$，
再由$\frac{P{F}_{2}}{\frac{{a}^{2}}{c}-{y}_{P}}-e=\frac{1}{2}$，得$P{F}_{2}=\frac{1}{2}（\frac{{a}^{2}}{c}-{y}_{P}）=\frac{1}{2}（4-{y}_{P}）$，
∴$\frac{1}{2}（4-{y}_{P}）≤\frac{4}{3}$，得${y}_{P}≥\frac{4}{3}$，又P在橢圓上，
∴$\frac{4}{3}≤{y}_{P}≤2$．
故答案為：[$\frac{4}{3}，2$]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，借助于橢圓定義求解是關(guān)鍵，是中檔題．