Question

2．設n∈N^*，f（n）=3ⁿ+7ⁿ-2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）證明：對任意正整數n，f（n）是8的倍數．

Answer 1

分析 （1）由n∈N^*，f（n）=3ⁿ+7ⁿ-2，分別取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．
（2）利用用數學歸納法能證明對任意正整數n，f（n）是8的倍數．

解答 解：（1）∵n∈N^*，f（n）=3ⁿ+7ⁿ-2，
∴f（1）=3+7-2=8，
f（2）=3²+7²-2=56，
f（3）=3³+7³-2=368．
證明：（2）用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，f（1）=3+7-2=8，成立；
②假設當n=k時成立，即f（k）=3^k+7^k-2能被8整除，
則當n=k+1時，
f（k+1）=3^k+1+7^k+1-2
=3×3^k+7×7^k-2
=3（3^k+7^k-2）+4×7^k+4
=3（3^k+7^k-2）+4（7^k+1），
∵3^k+7^k-2能被8整除，7^k+1是偶數，
∴3（3^k+7^k-2）+4（7^k+1）一定能被8整除，
即n=k+1時也成立．
由①②得：對任意正整數n，f（n）是8的倍數．

點評 本題考查函數值的求法，考查函數值是8的倍數的證明，是基礎題，解題時要認真審，注意數學歸納法的合理運用．