Question

2．已知函數y=f（x）的定義域為[-1，1]，且f（-x）=-f（x），f（0）=1，當a，b∈[-1，1]且a+b≠0，時$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0恒成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調性并證明結論；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）

Answer 1

分析 （1）根據條件即可得出a-b≠0時，$\frac{f（a）+f（-b）}{a+（-b）}＞0$恒成立，進而得出$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$恒成立，根據增函數定義即可得出f（x）在[-1，1]上單調遞增；
（2）根據（1）得出的f（x）的單調性，便可由$f（x+\frac{1}{2}）＜f（\frac{1}{x-1}）$得出$-1≤x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}≤1$，解該不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵當a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$恒成立；
∴$\frac{f（a）+f（-b）}{a+（-b）}＞0$，且f（-b）=-f（b）；
∴$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$；
∴a＜b時，f（a）＜f（b）；
∴f（x）在[-1，1]上是單調增函數；
（2）∵f（x）在[-1，1]上是單調增函數，且$f（x+\frac{1}{2}）＜f（\frac{1}{x-1}）$；
∴$-1≤x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}≤1$；
解得$-\frac{3}{2}≤x＜-1$；
故所求不等式的解集為$[-\frac{3}{2}，-1）$．

點評 考查增函數的定義，根據增函數定義判斷函數單調性的方法，根據函數單調性解不等式的方法．