Question

7．函數(shù)f（x）=3-sinx-2cos²x，$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，則函數(shù)的最大值與最小值之差為（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 由已知得-$\frac{1}{2}$≤sinx≤1，利用同角平方關(guān)系對(duì)函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大、最小值．

解答 解：由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時(shí)，sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∵函數(shù)f（x）=3-sinx-2cos²x
=2sin²x-sinx+1
=2${（sinx-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{7}{8}$；
∴當(dāng)sinx=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值為f（x）_min=$\frac{7}{8}$；
當(dāng)sinx=1或-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為f（x）_max=2；
∴函數(shù)的最大值與最小值之差為f（x）_max-f（x）_min=2-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{8}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)以及利用配方法求二次函數(shù)的值域問(wèn)題，要注意sinx的范圍．