Question

4．集合A={x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素滿足：
①任意一個元素的各數位上的數字互不相同；
②任意一個元素的任意兩個數位的數字之和不等于9．問
（1）集合B中兩位數和三位數各有多少個？
（2）集合B中是否有五位數？是否有六位數？
（3）將集合B中的元素從小到大排列，求第1081個元素．

Answer 1

分析 （1）根據題意，對于兩位數的個數：先計算所有的兩位數的數目，排除其中數字相同的兩位數和兩位數字之和為9的兩位數，即可得符合條件的兩位數個數；對于三位數：先計算全部三位數的個數，排除其中數字1和8、2和7、3和6、4和5的三位數數目，即可得三位數的個數；
（2）根據題意，分析其中和為9的兩個數的情況：（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5），由組合排列公式分析即可得答案．
（3）計算B中的兩位數、三位數和首位是1、2、3的四位數的個數，計算可得B中小于4000的元素數目，分析可得答案．

解答 解：（1）根據題意，所有的兩位數共90個，其中數字相同的有11、22、33、44、55、66、77、88、99，共9個，
兩位數字之和為9的有18、27、36、45、54、63、72、81、90，共9個，
則集合B中兩位數有90-9-9=72個；
所有三位數有9×9×8=648個，
其中含有數字0和9的有4×8=32個，含有數字1和8、2和7、3和6、4和5的各有4×8+2×7=46個，
故B的三位數有648-32-46×4=432個；
（2）集合B中可以有五位數，只需在（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）中任選1個，組成一個五位數即可；
集合B中沒有六位數，在0到9十個數字中任取6個，必包含（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）中的1個，
不滿足任意兩個數位的數字之和不等于9條件．
（3）B中的四位數首位是1、2、3的各有8×A₄³=192個，
因此，B中小于4000的元素共有72+432+192×3=1080個，
因此，第1081個元素為4012．

點評 本題考查排列、組合的應用，關鍵是分析題意，將其轉化為排列組合問題．