Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-lnx，則函數(shù)在點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2e-2}$．

Answer 1

分析 求得函數(shù)f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程，再令x=0，y=0，求得與坐標軸的交點，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x-lnx的導數(shù)為f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)在點（1，f（1））處的切線斜率為e-1，
切點為（1，e），
可得切線的方程為y-e=（e-1）（x-1），
可令x=0，解得y=1；
y=0，解得x=1-$\frac{e}{e-1}$=$\frac{1}{1-e}$．
即有切線與坐標軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{e-1}$=$\frac{1}{2e-2}$．
故答案為：$\frac{1}{2e-2}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，以及三角形的面積的求法，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，屬于基礎題．