Question

16．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由題意利用兩個向量的數量積的定義，求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值．

解答 解：設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為cosθ，θ為$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角，
∵$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即 3${\overrightarrow{b}}^{2}$=-6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
即  ${\overrightarrow{b}}^{2}$=-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即 ${\overrightarrow{b}}^{2}$=-4|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ，∴cosθ=-$\frac{1}{4}$，
故選：D．

點評 本題主要考查用兩個向量的數量積表示兩個向量的夾角，兩個向量的數量積的定義，屬于基礎題．