Question

6．正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，$AC=2，C{C_1}=\sqrt{2}$，M，N為A₁C₁，A₁B₁的中點，則異面直線AM與BN所成角（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AM與BN所成角．

解答 解：以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），M（0，1，$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BN}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
設(shè)異面直線AM與BN所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴異面直線AM與BN所成角為$\frac{π}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．