Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{b}{2}$x²+ax+c（a＞0，b＞0）則函數(shù)g（x）=alnx+$\frac{f′（x）}{a}$在點(diǎn)（b，g（b））處切線的斜率最小值是2．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到g（x）=alnx+$\frac{f′（x）}{a}$的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)限制性條件a＞0，b＞0和基本不等式進(jìn)行解答．

解答 解：因?yàn)間（x）=alnx+$\frac{f′（x）}{a}$，
所以g′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{2x-b}{a}$．
又因?yàn)閍＞0，b＞0，
所以g′（b）=$\frac{a}{b}$+$\frac{2b-b}{a}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{b}$≥2，
所以斜率的最小值是2．
故答案是：2．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．