Question

8．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F 是AD 上的兩個三等分點．$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}=2$，BC=2，則$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知結合向量的加減法法則求出${\overrightarrow{DE}}^{2}$，進一步求得$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$的值．

解答 解：如圖，
∵D為BC的中點，E，F為AD上的兩個三等分點，
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$=${\overrightarrow{DE}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}$=2，
∴${\overrightarrow{DE}}^{2}=2+1=3$，
∵$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{DE}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{1}{4}×3-1=-\frac{1}{4}$，
故答案為：$-\frac{1}{4}$．

點評 本題考查的知識是平面向量的數量積運算，平面向量的線性運算，是中檔題．