Question

19．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線與雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩條漸近線分別交于A、B兩點，若△AOB（O為坐標原點）的面積為4$\sqrt{2}$，且雙曲線E的離心率為$\sqrt{3}$，則拋物線C的準線方程為（　　）

• A． $x=-\frac{1}{2}$
• B． x=-1
• C． $x=-\sqrt{3}$
• D． x=-2

Answer 1

分析 由離心率公式和a，b，c的關系得$\frac{b}{a}$，即可得到雙曲線的漸近線方程；寫出拋物線的準線方程，代入漸近線方程，可得A，B的坐標，得到AB的距離，由三角形的面積公式，計算即可得到p的值．

解答 解：由雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$，可得$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=3$，即$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，
∴雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩條漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x=$±\sqrt{2}x$，
∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=\sqrt{2}x}\end{array}\right.$得A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}p$），同理得B（-$\frac{p}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}p$）
△AOB（O為坐標原點）的面積為$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×\sqrt{2}p$=4$\sqrt{2}$，解得p=4
∴準線方程為x=-2．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關系，考查拋物線的方程和性質，以及三角形的面積公式的計算，屬于中檔題