Question

11．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等極如下表：

質(zhì)量指標值m	m＜185	185≤m＜205	m≥205
等級	三等品	二等品	一等品

從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定？
（Ⅱ）在樣本中，按產(chǎn)品等極用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；
（III）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產(chǎn)品質(zhì)量指標值X近似滿足X～N（218，140}），則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標值的均值比活動前大約提升了多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計值為0.875，由于該估計值小于0.90，由此不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5、0.125，在樣本中用分層抽樣方法抽取的8件產(chǎn)品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件，一、二、三等品都有的情況有2種：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，由此能求出抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率．
（Ⅲ）“質(zhì)量提升月”活動前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的均值約為200.4“質(zhì)量提升月”活動后，產(chǎn)品質(zhì)量指標值X近似滿足X～N（218，140），則E（X）=218．由此能求出“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標值的均值比活動前大約提升了17.6．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計值為0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875，
由于該估計值小于0.90，
故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5、0.125，
故在樣本中用分層抽樣方法抽取的8件產(chǎn)品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，
再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件，一、二、三等品都有的情況有2種：
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，
故所求的概率$P=\frac{C_3^2C_4^1C_1^1+C_3^1C_4^2C_1^1}{C_8^4}=\frac{3}{7}$．
（Ⅲ）“質(zhì)量提升月”活動前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的均值約為：
170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4
“質(zhì)量提升月”活動后，產(chǎn)品質(zhì)量指標值X近似滿足X～N（218，140），則E（X）=218．
所以，“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標值的均值比活動前大約提升了：218-200.4=17.6．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布、古典概型等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．