Question

1．有三種卡片分別寫有數字1，10，100，從上述三種卡片中選取若干張，使得這些卡片之和為m（m為正整數）．考慮不同的選法種數，例如m=11時有兩種選法：“一張卡片寫有1，另一張寫有10”或“11張寫有1的卡片”．
（1）若m=100，直接寫出選法種數；
（2）設n為正整數，記所選卡片的數字和為100n的選法種數為a_n，當n≥2時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）對100和10的卡片張數討論得出答案；
（2）求出{a_n}的遞推式，使用累加法得出a_n．

解答 解：（1）m=100時選法種數為12．
（2）由（1）知a₁=12，
當n≥2時，若至少選一張100的卡片，則除去一張100的卡片，其余數字之和為100（n-1），有a_n-1種選法，
若不選含有100的卡片，則有（10n+1）種選法．
∴a_n=a_n-1+10n+1，即a_n-a_n-1=10n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+12
=$10•\frac{（n+2）（n-1）}{2}+n-1+12=5{n^2}+6n+1（n≥2）$．

點評 本題考查了數列的遞推式，數列的通項公式的求法，屬于中檔題．