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6.設點A(1,2),非零向量$\overrightarrow a=({m,n})$,若對于直線3x+y-4=0上任意一點P,$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow a$恒為定值,則$\frac{m}{n}$=3.

分析 設點P(x,y),由點P為直線上的任意一點,表示出向量$\overrightarrow{AP}$,由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{a}$恒為定值,求出m、n的關系,再計算$\frac{m}{n}$.

解答 解:設點P(x,y),
∵點P為直線3x+y-4=0上的任意一點,
∴y=4-3x,
∴$\overrightarrow{AP}$=(x-1,2-3x);
又非零向量$\overrightarrow{a}$=(m,n),
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{a}$=m(x-1)+n(2-3x)=(m-3n)x+(2n-m),且恒為定值,
∴m-3n=0,即m=3n;
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{3n}{n}$=3.
故答案為:3.

點評 本題考查了平面向量數量積的定義與應用問題,是中檔題.

練習冊系列答案
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16.設集合A={x|(2x-1)(x-3)>0},B={x|x-1<0},則A∩B=(  )
A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,1)C.$({-∞,\frac{1}{2}})$D.$({\frac{1}{2},1})$

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17.已知函數f(x)為偶函數,當x<0時,f(x)=ln(-x)-ax.若直線y=x與曲線y=f(x)至少有兩個交點,則實數a的取值范圍是( 。
A.$[{-1-\frac{1}{e},1-\frac{1}{e}}]$B.$({-1-\frac{1}{e},-1})∪\left\{{1-\frac{1}{e}}\right\}$
C.$({1-\frac{1}{e},+∞})$D.$({-1-\frac{1}{e},-1})∪[{1-\frac{1}{e},+∞})$

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14.根據如圖所示的偽代碼,當輸入a的值為3時,輸出的S值為9.

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1.有三種卡片分別寫有數字1,10,100,從上述三種卡片中選取若干張,使得這些卡片之和為m(m為正整數).考慮不同的選法種數,例如m=11時有兩種選法:“一張卡片寫有1,另一張寫有10”或“11張寫有1的卡片”.
(1)若m=100,直接寫出選法種數;
(2)設n為正整數,記所選卡片的數字和為100n的選法種數為an,當n≥2時,求數列{an}的通項公式.

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11.設橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的左頂點為(-2,0),且橢圓C與直線$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3$相切,
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點P(0,1)的動直線與橢圓C交于A,B兩點,設O為坐標原點,是否存在常數λ,使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$?請說明理由.

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18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD=AD=2,△PAC為正三角形,E為PA的中點,F為線段BC上任意一點(不含端點).
(1)證明:平面CDE⊥平面AFP;
(2)是否存在點F,使得三棱錐F-PAB體積為$\frac{2}{3}$,若存在,請確定點F的位置,若不存在,請說明理由.

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15.學校為了了解高三學生每天回歸教材自主學習的時間,隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調查,其中每天回歸教材自主學習的時間超過5小時的學生非常有可能在高考中締造神奇,我們將他(她)稱為“考神”,否則為“非考神”,調查結果如表:
考神非考神合計
男生262450
女生302050
合計5644100
(Ⅰ)根據表中數據能否判斷有60%的把握認為“考神”與性別有關?
(Ⅱ)現從調查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行調查,求所抽取的5人中“考神”和“非考神”的人數;
(Ⅲ)現從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調查,記這3人中“考神”的人數為ξ,求隨機變量ξ的分布列與數學期望.
參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
參考數據:
P(K2≥k00.500.400.250.050.0250.010
k00.4550.7081.3213.8415.0246.635

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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

3.若實數x,y,滿足3x-4y-5=0,則$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是( 。
A.$\sqrt{5}$B.5C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$D.1

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同步練習冊答案
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