Question

15．學校為了了解高三學生每天回歸教材自主學習的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調查，其中每天回歸教材自主學習的時間超過5小時的學生非常有可能在高考中締造神奇，我們將他（她）稱為“考神”，否則為“非考神”，調查結果如表：

	考神	非考神	合計
男生	26	24	50
女生	30	20	50
合計	56	44	100

（Ⅰ）根據表中數據能否判斷有60%的把握認為“考神”與性別有關？
（Ⅱ）現從調查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行調查，求所抽取的5人中“考神”和“非考神”的人數；
（Ⅲ）現從（Ⅱ）中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調查，記這3人中“考神”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數據：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.321	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）由列聯表求解k²，即可判斷沒有60%的把握認為“考神”與性別有關．
（Ⅱ）按分層抽樣的方法抽出5人，求解抽取的5人中“考神”和“非考神”的人數．
（Ⅲ）ξ為所抽取的3人中“考神”的人數，得到ξ的所有取值為1，2，3．求出概率，得到隨機變量ξ的分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由列聯表得${K^2}=\frac{{100{{（26×20-30×34）}^2}}}{56×44×50×50}≈0.6494＜0.708$
∴沒有60%的把握認為“考神”與性別有關．  …（4分）
（Ⅱ）調查的50名女生中“考神”有30人，“非考神”有20人，按分層抽樣的方法抽出5人，則“考神”的人數為$5×\frac{30}{50}=3$人，“非考神”有$5×\frac{20}{50}=2$人．
即抽取的5人中“考神”和“非考神”的人數分別為3人和2人  …（8分）
（Ⅲ）∵ξ為所抽取的3人中“考神”的人數，
∴ξ的所有取值為1，2，3.$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_2^1}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_5^3}=\frac{1}{10}$．  …（10分）
∴隨機變量ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

于是$Eξ=1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}=\frac{9}{5}$．  …（12分）

點評 本題考查離散性隨機變量的期望以及分布列的求法，獨立檢驗思想以及分層抽樣的應用，考查計算能力．