Question

12．經過橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點F作直線l，交橢圓E于A，B兩點．如果F恰好是線段AB的三等分點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 由題意方程求出F坐標，設出直線方程與A，B的坐標，聯立后化為關于y的一元二次方程，由F恰好是線段AB的三等分點可得方程兩根的關系，列式求解得答案．

解答 解：如圖，
由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得c²=a²-b²=4-3=1，
∴F（1，0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨設F靠近A，則由F恰好是線段AB的三等分點，得$\frac{|BF|}{|FA|}=2$，
∴y₂=-2y₁，
設AB所在直線方程為x=ty+1．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
解得${y}_{1}=\frac{-3t+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{2}=\frac{-3t-6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
由y₂=-2y₁，得$2\sqrt{{t}^{2}+1}=3t$，解得t=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此時取t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
得直線l的方程為$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}y+1$，即$\sqrt{5}x-2y-\sqrt{5}=0$．
由對稱性可知，另一直線方程為$\sqrt{5}x+2y-\sqrt{5}=0$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．