Question

11．在銳角三角形ABC中，c=asinB．則實數sinC的最大值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得tanC=$\frac{1}{\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1}$，由A∈（0，$\frac{π}{2}$），可求$\frac{1}{tanA}$∈（0，+∞），利用二次函數的性質可求$\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1$∈（$\frac{3}{4}$，+∞），進而可得tanC∈（0，$\frac{4}{3}$]，從而可求sinC的最大值．

解答 解：∵c=asinB，
∴sinC=sinAsinB=sinAsin（A+C）=sin²AcosC+sinAcosAsinC，
∴sinC（1-sinAcosA）=sin²AcosC，
∴tanC=$\frac{si{n}^{2}A}{1-sinAcosA}$=$\frac{ta{n}^{2}A}{ta{n}^{2}A-tanA+1}$=$\frac{1}{\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），tanA∈（0，+∞），
∴$\frac{1}{tanA}$∈（0，+∞），
∴$\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1$∈（$\frac{3}{4}$，+∞），
∴tanC∈（0，$\frac{4}{3}$]，可得：sinC∈（0，$\frac{4}{5}$]，
∴sinC的最大值為$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，二次函數的性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．