Question

12．已知函數f（x）=（x+5）（x²+x+a）的圖象關于點（-2，0）對稱，設關于x的不等式f'（x+b）＜f'（x）的解集為M，若（1，2）?M，則實數b的取值范圍為-6≤b＜0．

Answer 1

分析 利用函數的對稱中心，推出f（-4）=-f（0），求解a．化簡函數的解析式，利用不等式推出b²+2bx+4b＜0對x∈（1，2）恒成立．通過b的取值討論求解即可．

解答 解：函數f（x）的圖象關于點（-2，0）中心對稱，則f（-4）=-f（0），由此求得a=-2，
∴f（x）=（x+2）（x²+4x-5）=x³+6x²+3x-10，f'（x+b）＜f'（x）?f'（x+b）-f'（x）＜0，即b²+2bx+4b＜0對x∈（1，2）恒成立．
顯然b=0不合題意．
當b＞0時，f'（x+b）-f'（x）＜0?b＜-2x-4，b≤-8（舍去）；
當b＜0時，f'（x+b）-f'（x）＜0?b＞-2x-4，b≥-6．綜上，b的取值范圍是-6≤b＜0．
故答案為：-6≤b＜0．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的對稱中心以及函數的恒成立問題的轉化方法，考查計算能力．