Question

17．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（-x）-ax．若直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{-1-\frac{1}{e}，1-\frac{1}{e}}]$
• B． $（{-1-\frac{1}{e}，-1}）∪\left\{{1-\frac{1}{e}}\right\}$
• C． $（{1-\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $（{-1-\frac{1}{e}，-1}）∪[{1-\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 由函數(shù)是偶函數(shù)求出函數(shù)解析式，把直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x至少有兩個(gè)根．令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-ax-x，x＜0}\\{lnx+ax-x，x＞0}\end{array}\right.$．然后對(duì)x＜0和x＞0分類求解g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后運(yùn)用交集思想得答案．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
∵f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（-x）-ax，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=f（-x）=lnx+ax．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-ax，x＜0}\\{lnx+ax，x＞0}\end{array}\right.$．
若直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=x至少有兩個(gè)根．
令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-ax-x，x＜0}\\{lnx+ax-x，x＞0}\end{array}\right.$．
下面研究：
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）=ln（-x）-ax-x零點(diǎn)情況：
由g（x）=ln（-x）-ax-x=0，得ln（-x）=（a+1）x．
作出y=ln（-x）的圖象如圖：

若a+1≥0，即a≥-1，則y=ln（-x）與y=（a+1）x有1個(gè)交點(diǎn)，
若a+1＜0，即a＜-1，設(shè)直線y=（a+1）x與y=ln（-x）的切點(diǎn)為（x₀，ln（-x₀）），
則切線方程為y-ln（-x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），代入原點(diǎn)（0，0），可得ln（-x₀）=1，x₀=-e．
則切點(diǎn)為（-e，1），切線斜率為-$\frac{1}{e}$，要使直線y=（a+1）x與y=ln（-x）有交點(diǎn)，則a+1$≥-\frac{1}{e}$，即a$≥-1-\frac{1}{e}$；
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx+ax-x零點(diǎn)情況：
由g（x）=lnx+ax-x=0，得lnx=（-a+1）x．
作出y=lnx的圖象如圖：

若-a+1≤0，即a≥1，則y=lnx與y=（-a+1）x有1個(gè)交點(diǎn)，
若-a+1＞0，即a＜1，設(shè)直線y=（-a+1）x與y=lnx的切點(diǎn)為（x₀，lnx₀），
則切線方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），代入原點(diǎn)（0，0），可得lnx₀=1，x₀=e．
則切點(diǎn)為（e，1），切線斜率為$\frac{1}{e}$，要使直線y=（-a+1）x與y=lnx有交點(diǎn)，則-a+1$≤\frac{1}{e}$，即$a≥1-\frac{1}{e}$．
綜上，滿足直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{-1-\frac{1}{e}，-1}）∪[{1-\frac{1}{e}，+∞}）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是壓軸題．