Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD=AD=2，△PAC為正三角形，E為PA的中點，F為線段BC上任意一點（不含端點）．
（1）證明：平面CDE⊥平面AFP；
（2）是否存在點F，使得三棱錐F-PAB體積為$\frac{2}{3}$，若存在，請確定點F的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理證明CD⊥PD，結合CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故CD⊥PA，又PA⊥DE得出PA⊥平面CDE，于是平面CDE⊥平面AFP；
（2）證明PD⊥平面ABCD，代入體積公式計算BF即可得出結論．

解答 （1）證明：∵PD=AD，E是PA的中點，
∴DE⊥PA．
∵PD=CD=2，PC=AC=2$\sqrt{2}$，
∴CD⊥PD，又CD⊥AD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
又CD∩DE=D，
∴PA⊥平面CDE，
∵PA?平面APF，
∴平面CDE⊥平面AFP．
（2）解：由（1）可知PD⊥CD，同理可得PD⊥AD，
又CD∩AD=D，
∴PD⊥平面ABCD．
∴V_F-PAB=V_P-ABF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BF×PD$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×BF×2$=$\frac{2}{3}$，解得BF=1．
∴F是BC的中點．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．