Question

11．設橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左頂點為（-2，0），且橢圓C與直線$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3$相切，
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（0，1）的動直線與橢圓C交于A，B兩點，設O為坐標原點，是否存在常數λ，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a=2，將直線方程代入橢圓方程，由△=0，即可求得b的值，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）設直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，可知當λ=2時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$，當過點P的直線AB的斜率不存在時，直線即與y軸重合，此時$A（{0，\sqrt{3}}），B（{0，-\sqrt{3}}）$，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-3+λ[{（{\sqrt{3}-1}）（{-\sqrt{3}-1}）}]=-3-2λ$，當λ=2時，等式成立，綜上所述，當λ=2時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$．

解答 解：（1）根據題意可知a=2，所以$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
由橢圓C與直線$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3$相切，聯立得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3\end{array}\right.$，
消去y可得：$（{{b^2}+6}）{x^2}+12\sqrt{6}x+36-4{b^2}=0$，由△=0，即${（{12\sqrt{6}}）^2}-4（{{b^2}+6}）（{36-4{b^2}}）=0$，
解得：b²=0（舍）或b²=3．
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）當過點P的直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
聯立得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，化簡（3+4k²）x²+8kx-8=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{4{k^2}+3}}\\{x_1}{x_2}=-\frac{8}{{4{k^2}+3}}\\△≥0\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+λ|{{x_1}{x_2}+（{{y_1}-1}）（{{y_2}-1}）}|$=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
=$-\frac{{8（{1+λ}）（{1+{k^2}}）}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+1$，
=$\frac{{-2λ+4-4（{4{k^2}+3}）-2λ（{4{k^2}+3}）}}{{4{k^2}+3}}+1$，
=$\frac{-2λ+4}{{4{k^2}+3}}-2λ-3$，
∴當λ=2時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$
當過點P的直線AB的斜率不存在時，直線即與y軸重合，此時$A（{0，\sqrt{3}}），B（{0，-\sqrt{3}}）$，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-3+λ[{（{\sqrt{3}-1}）（{-\sqrt{3}-1}）}]=-3-2λ$，
所以當λ=2時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$，
綜上所述，當λ=2時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量的坐標運算，考查分類討論思想，屬于中檔題．