Question

2．如圖，圓錐的高PO=$\sqrt{2}$，底面⊙O的直徑AB=2，C是圓上一點，且∠CAB=30°，D為AC的中點，則點B到平面PAC的距離（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可證面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性質考慮在平面POD中過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC，在Rt△OHC中，求得OH，點B到平面PAC的距離等于2OH，即可求解．

解答 解：因為OA=OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內的兩條相交直線
所以AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC
在Rt△ODA中，OD=DA•sin30=$\frac{1}{2}$
在Rt△POD中，OH=$\frac{\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
點B到平面PAC的距離等于2OH=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選；B

點評 題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應用，空間距離的求解，考查了運算推理的能力及空間想象的能力．屬于中檔題．